Lie群の有限次元ユニタリー表現の構成方法

Lie群の有限次元ユニタリー表現の構成方法について説明します。

参考文献：(Peskin & Schroeder, 1995)

ゲージ理論において，局所ゲージ変換は場のユニタリー変換である。これはLie代数の有限次元エルミート表現によって生成され，これはLie代数がコンパクトであれば十分である。

ここでLie代数に関する基本的な事項を説明する。

可換なLie代数 $\mathfrak{u}(1)$ をイデアルに持たない代数は半単純であるといい，非自明なイデアルを持たない代数は単純であるという。定義より，単純なLie代数は半単純である。また半単純Lie代数は単純Lie代数の直和で表せる。したがって，Lie代数を調べるには単純Lie代数を調べれば十分である。

ゲージ理論を構成するにあたって，我々が考えるべきことはコンパクトな単純Lie代数を知ることである。実はこの条件は厳しく，3 つの無限代数（古典代数という）と 5 つの例外型しか存在しない。

対応する古典群は以下の通りである：

例外型は

と書かれる。ちなみに $E_6,\ E_8$ は統一理論への応用が考えられている。

表現の構成

いつか書きたいとは思っている。

参考文献